Ce post est un complément à celui décrivant la différence de fonctionnement entre un haut-parleur à cône et un pavillon (disponible [ici]).
Nous allons ici aborder la manière dont un son est engendré par un haut-parleur à radiation directe en nous appuyant sur la forme particulière de l'impédance de rayonnement d'un tel haut-parleur.
Le mythe de la membrane légère :
Un mythe récurrent chez les audiophiles concerne la légèreté de la membrane d'un haut-parleur à cône à radiation directe. Il est souvent avancé qu'une membrane doit être la plus légère possible pour à la fois bien reproduire les transitoires et monter haut en fréquence.
Cette idée reçue a notamment été popularisée par Jean Hiraga qui, dans son célèbre article traitant de l'enceinte de grave ONKEN, écrivait à propos du haut-parleur Altec 416-8A qu'il « allie les avantages d'un moteur ultra-puissant à un cône léger et rigide ».
En réalité, la fréquence de coupure haute d'un haut-parleur à cône ne dépend ni de la masse de sa membrane, ni de son facteur d'accélération, mais uniquement de son rayon. Cette fréquence de coupure s'exprime par :$$f_c = \frac{c}{\pi a}$$où $a$ représente le rayon de la membrane et $c$ la vitesse du son.
Cette équation correspond au point où $ka = 2$ (avec $k = \frac{\omega}{c}$, le nombre d'onde).
Impédance de rayonnement et masse d'air entraînée
Ce qui détermine la puissance acoustique développée par un haut-parleur à cône, c'est l'impédance de rayonnement $Z_r$, c'est-à-dire le rapport complexe entre la force exercée par l'air sur la membrane et la vitesse de celle-ci :
$$Z_r = \frac{F}{v} = R_{ar} + j X_{ar}$$
Dans cette équation :
- $R_{ar}$ (résistance de rayonnement) : représente la puissance acoustique effectivement rayonnée. C'est la partie « utile » qui transforme l'énergie mécanique en énergie acoustique.
- $X_{ar}$ (réactance de rayonnement) : traduit l'énergie temporairement stockée dans le champ proche de la membrane. À basse fréquence, elle est essentiellement inertielle et se comporte comme une masse d'air virtuelle ajoutée à la membrane.
Simulation sous HornResp : l'impact de la masse sur la coupure
Afin d'illustrer que la fréquence de coupure haute ne dépend pas de la masse de la membrane dans un cas classique, prenons un haut-parleur de $38\text{ cm}$ ($15\text{ pouces}$) avec les paramètres suivants :
- $F_s = 21\text{ Hz}$
- $V_{as} = 467\text{ L}$
- $Q_{es} = 0,27$
- $Q_{ms} = 4,23$
- $R_e = 6,5\ \Omega$
- $S_d = 855\text{ cm}^2$
Faisons varier la masse de la membrane $M_{md}$ de ce haut-parleur (de $784\text{ g}$ à $0,02\text{ g}$ en ajustant le $V_{as}$ de $75\text{ L}$ à $4150\text{ L}$) et simulons sous HornResp la courbe de réponse afin de calculer la fréquence de coupure haute. On observe un phénomène intéressant : la fréquence de coupure demeure parfaitement constante et proche des $670\text{ Hz}$ calculés tant que la membrane reste relativement lourde. En revanche, dès que la masse $M_{md}$ descend en dessous de $40\text{ g}$, la fréquence de coupure commence à grimper pour atteindre des valeurs extrêmement élevées lorsque $M_{md}$ tend vers zéro. Le graphique ci-desssous représente la variation de cette fréquence de coupure en fonction du rapport $\frac{M_{md}}{M_r}$
Que se passe-t-il exactement ?
Analyse du comportement physique
Pour comprendre ce résultat, il faut observer le schéma équivalent du haut-parleur. Celui-ci est donné dans le schéma ci-dessous :
On y trouve en série les éléments du HP : la compliance de la suspension $C_{as}$, la masse de la membrane $M_{as}= \frac{M_{md}}{S_d}$, et les termes d'amortissement mécanique $R_{as}$ et électrique $R_{ae}$. On y trouve également les termes provenant de l'impédance de rayonnement $R_{ar}$ (résistance) et $X_{ar}$ (réactance).
Le graphique suivant montre l'évolution de la résistance ($R_{ar}$, en rouge) et de la réactance ($X_{ar}$ en bleu) en fonction de $ka$ (les valeurs tracés sont les impédances dites réduites c'est-à-dire divisées par $\frac{\rho C}{S_d}$) :
Ce graphique s'analyse en deux zones. La première zone est telle que $ka < 1$. Dans cette zone la résistance $R_{ar}$ augmente avec le carré de la fréquence ($R_{ar} \propto f^2$), tandis que la réactance $X_{ar}$ augmente linéairement avec la fréquence ($X_{ar} \propto f$). Une réactance linéaire équivaut rigoureusement à une masse. C'est la masse d'air $M_r$ entrainée par la membrane.
La seconde zone est celle où $ka > 1$. Dans cette zone, la résistance $R_{ar}$ plafonne et devient constante, tandis que la réactance $X_{ar}$ décroît et devient négligeable.
Cas classique d'un haut-parleur à cône ($M_{md} \gg M_r$) :
La masse de la membrane domine largement le circuit. Le haut-parleur fonctionne en régime de contrôle par la masse, ce qui signifie que le circuit ci-dessus se résume à la masse $M_{md}$ et $M_r$. Le débit de vitesse varie de manière inversement proportionnelle à la fréquence ($v \propto 1/f$, soit une accélération constante).
Pour $ka < 1$ : La puissance rayonnée ($P \propto R_{ar} \cdot v^2$) reste constante car l'augmentation en $f^2$ de $R_{ar}$ compense exactement la chute en $1/f^2$ du carré de la vitesse.
Pour $ka > 1$ : $R_{ar}$ devient constante, mais la vitesse continue de chuter en $1/f$. La puissance rayonnée chute alors naturellement à $-6\text{ dB/octave}$, fixant la coupure à $ka = 2$.
Cas d'une membrane ultra-légère ($M_{md} \ll M_r$) :
Lorsque la masse de la membrane devient négligeable devant la masse d'air entraînée, la domination du circuit change de régime. Pour $ka < 1$ : C'est la masse d'air $M_r$ qui régit le comportement. Le haut-parleur se comporte exactement comme un haut-parleur classique.
Pour $ka > 1$ : La réactance $X_{ar}$ s'effondre. Le circuit ne contient plus que la résistance de rayonnement $R_{ar}$. Dès lors, l'équipage mobile n'est plus limité par une masse : la vitesse de la membrane devient constante. Un débit constant injecté dans une résistance de rayonnement elle-même constante produit une puissance acoustique constante.
La fréquence de coupure est repoussée loin en haute fréquence. Le haut-parleur fonctionne comme un pavillon (débit constant) par fait, mais sans la chambre de compression.
Cependant l'impédance due à la membrane variant linéairement avec la fréquence, quelque soit sa faible valeur, à partir d'une fréquence donnée, cette impédance redevient prépondérante, ce qui conduit à la diminution de la puissance acoustique rayonnée et à la fréquence de coupure haute mais bien au-delà de $ka=2$.
Pour se convaincre de cette transition entre accélération constante ($ka < 1$) et vitesse constante ($ka > 1$), il suffit d'observer les courbes d'accélération et de vitesse simulées sous HornResp pour $M_{md} = 0,02\text{ g}$
Vitesse :
A partir d'environ 700 hz (fréquence de coupure correspondant à $ka=2$ d'un haut-parleur conventionnel), la vitesse de la membrane est quasi constante.
Accélération :
En dessous de 700 hz, c'est l'accélération de la membrane qui est constante comme dans le cas d'un haut-parleur conventionel.
Application pratique : le panneau électrostatique
Ce comportement physique où la masse du diaphragme est très inférieure à la masse d'air n'est pas une simple vue de l'esprit. C'est le principe fondamental exploité par les haut-parleurs électrostatiques.
Dès 1955, Peter Walker (fondateur de Quad) a décrit précisément cette transition dans ses articles fondateurs. En utilisant un film Mylar ultra-fin dont la masse est négligeable devant la charge d'air, le panneau électrostatique franchit la limite habituelle du $ka = 2$ pour étendre sa réponse dans l'aigu en pur régime résistif.
Cordialement
Jean