Re: Simulation absorption laine semi rigide
Posté : 17 oct. 2026, 08:34
Merci JIM de ces remarques pertinentes.
Le calcul de $A$ et $B$ est fait avec Scilab à partir des mesures de REW.
Tu as raison de signaler que dans $A$ et $B$ on trouve la signature des modes.
Ces deux coefficients sont calculés avec une large fenêtre pour le transformée de Fourier. Ils incluent donc toutes les ondes dans le sens HP vers mur du fond pour $A$ et du mur du fond vers les HP pour $B$.
Il n'est pas possible d'isoler la première onde incidente $A_1$ en fenêtrant la réponse impulsionnelle car sa résolution en fréquence est insuffisante (principe d'incertitude lié à la transformée de Fourrier).
Le calcul du coefficient d'absorption en calculant $A$ et $B$ est la méthode classique utilisée dans un tube d'impédance. Cette méthode mesure le coefficient de réflexion de l'échantillon placé au fond du tube.
Si les coefficients $A$ et $B$ incluent toutes les réflexions, y compris celles du mur des enceintes, comment se fait-il que la méthode ne calcule que la réflexion du fond du tube (mur du fond dans mon cas) ?
D'autre part, pour calibrer ton DBA peut on extraire la première onde incidente $A_1$ à partir des valeurs de $A$ et $B$ ? La réponse est oui.
Essayons de modéliser l'ensemble des réflexions parcourant le tube.
Reprenons la formule de propagation d'onde plane dans un tube (avec $j^2=-1$) :
$$P(x) = A \cdot e^{-j k x} + B \cdot e^{+j k x}$$ Le premier terme (avec A en facteur) est l'onde incidente qui se propage des HP vers le mur du fond. Le second terme (avec B en facteur) est l'onde rétrograde qui se propage du mur du fond vers les enceintes.
Notons $L$ la distance entre ces deux murs. Notons $R_m$ le coefficient de réflexion en pression du mur du fond et $R_h$ le coefficient de réflexion en pression du mur des HP.
Les HP génèrent une onde $A_1$. L'équation ci-dessus nous dit que la pression sur le mur du fond (donc en $x=L$) de cette première onde incidente s'écrit : $$P(L) = A_1 \cdot e^{-j k L}$$ Cette onde incidente $A_1$ va se réfléchir et donc générer une première onde réfléchie au niveau du mur du fond (donc toujours en $x=L$) qui, selon la première équation (second terme), s'écrit $B_1 \cdot e^{+j k L}$. Le coefficient de réflexion en pression du mur $R_m$ est par définition le rapport de ces deux ondes : $$R_m = \frac{B_1 \cdot e^{+j k L}}{A_1 \cdot e^{-j k L}}$$ On déduit l'onde réfléchie $B_1$ en $x=L$ : $$B_1 = A_1 R_m \cdot e^{-2j k L}$$ Cette onde va se propager jusqu'au mur des enceintes. Au niveau du mur des enceintes (donc en $x=0$) sa pression s'écrit (en utilisant encore la première équation) : $$P(0) = B_1 \cdot e^{+ j k (x=0)} =B_1 $$ Cette onde va se réfléchir pour créer une nouvelle onde incidente $A_2$ en $x=0$ avec cette fois le coefficient de réflexion en pression du mur des HP $R_h$ : $$A_2 =A_1 R_m R_h \cdot e^{-2jkL}$$ Cette onde va se propager jusqu'au mur du fond et se réfléchir à nouveau créant une deuxième onde réfléchie $B_2$ qui va s'écrire de la même manière que la première onde réfléchie mais portant sur $A_2$ : $$B_2 =A_2 R_m \cdot e^{-2jkL} =A_1 R_h {R_m}^2 \cdot e^{-4jkL}$$ De ces expression, on déduit par récurrence la forme des ondes incidentes $A_i$ et réfléchies $B_i$. Ces ondes s'expriment uniquement en fonction de l'onde émise par le HP $A_1$ et des coefficients de réflexions du mur $R_m$ et de celui des HP $R_h$.
Les coefficients calculés $A$ et $B$ sont respectivement la somme de toutes les ondes incidentes et réfléchies. Je passe le détail des calculs, on trouve finalement :$$A = \sum_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (R_m R_h)^n e^{-j 2 n k L} $$ et $$B = \sum_{i=1}^{\infty} B_i = A_1 \cdot R_m e^{-j 2 k L} \sum_{n=0}^{\infty} (R_m R_h)^n e^{-j 2 n k L} $$ De l'expression de $A$, on déduit que ce terme sera maximal quand toutes les ondes s'additionnent en phase ce qui conduit à $e^{-j 2 n k L}=1$.
Cela se traduit en fréquence par : $f = n\frac{C}{2L}$ soit les fréquences des modes. Le terme $A$ (et $B$) incluent donc bien la réponse des modes.
On remarque d'autre part que la somme se simplifie dans le rapport des coefficients $B$ et $A$ qui donne $$\frac{B}{A} = R_m \cdot e^{-2j k L}$$ Ainsi ce rapport ne dépend plus que de $R_m$. Le terme $R_h$ disparait dans ce rapport qui conduit bien à mesurer le seul coefficient de réflexion du mur du fond.
On peut calculer la somme infini dans les expressions ci-dessus et l'on obtient finalement : $$A = \frac{A_1}{1 - R_m R_h e^{-j 2 k L}}$$ On en déduit que l'on peut calculer l'onde incidente $A_1$ émise par le HP à partir de $A$ selon la formule : $$A_1 = A (1 - R_m R_h e^{-j 2 k L})$$ Pour cela, il faut connaître les coefficients de réflexion des deux murs : le mur du fond et le mur des HP.
Comme le DBA consiste à placer des HP sur le mur du fond, on peut mesurer ces deux coefficients. Le coefficient de réflexion du mur du fond sera calculé en faisant jouer les HP du mur des enceintes et le coefficient du mur des enceintes, sera mesuré en faisant jouer les HP du DBA du mur du fond.
Ce serait intéressant de faire la manip pour voir ce que ça donne. Je propose qu'on continue à échanger par MP si tu veux faire cette manip.
Le calcul de $A$ et $B$ est fait avec Scilab à partir des mesures de REW.
Tu as raison de signaler que dans $A$ et $B$ on trouve la signature des modes.
Ces deux coefficients sont calculés avec une large fenêtre pour le transformée de Fourier. Ils incluent donc toutes les ondes dans le sens HP vers mur du fond pour $A$ et du mur du fond vers les HP pour $B$.
Il n'est pas possible d'isoler la première onde incidente $A_1$ en fenêtrant la réponse impulsionnelle car sa résolution en fréquence est insuffisante (principe d'incertitude lié à la transformée de Fourrier).
Le calcul du coefficient d'absorption en calculant $A$ et $B$ est la méthode classique utilisée dans un tube d'impédance. Cette méthode mesure le coefficient de réflexion de l'échantillon placé au fond du tube.
Si les coefficients $A$ et $B$ incluent toutes les réflexions, y compris celles du mur des enceintes, comment se fait-il que la méthode ne calcule que la réflexion du fond du tube (mur du fond dans mon cas) ?
D'autre part, pour calibrer ton DBA peut on extraire la première onde incidente $A_1$ à partir des valeurs de $A$ et $B$ ? La réponse est oui.
Essayons de modéliser l'ensemble des réflexions parcourant le tube.
Reprenons la formule de propagation d'onde plane dans un tube (avec $j^2=-1$) :
$$P(x) = A \cdot e^{-j k x} + B \cdot e^{+j k x}$$ Le premier terme (avec A en facteur) est l'onde incidente qui se propage des HP vers le mur du fond. Le second terme (avec B en facteur) est l'onde rétrograde qui se propage du mur du fond vers les enceintes.
Notons $L$ la distance entre ces deux murs. Notons $R_m$ le coefficient de réflexion en pression du mur du fond et $R_h$ le coefficient de réflexion en pression du mur des HP.
Les HP génèrent une onde $A_1$. L'équation ci-dessus nous dit que la pression sur le mur du fond (donc en $x=L$) de cette première onde incidente s'écrit : $$P(L) = A_1 \cdot e^{-j k L}$$ Cette onde incidente $A_1$ va se réfléchir et donc générer une première onde réfléchie au niveau du mur du fond (donc toujours en $x=L$) qui, selon la première équation (second terme), s'écrit $B_1 \cdot e^{+j k L}$. Le coefficient de réflexion en pression du mur $R_m$ est par définition le rapport de ces deux ondes : $$R_m = \frac{B_1 \cdot e^{+j k L}}{A_1 \cdot e^{-j k L}}$$ On déduit l'onde réfléchie $B_1$ en $x=L$ : $$B_1 = A_1 R_m \cdot e^{-2j k L}$$ Cette onde va se propager jusqu'au mur des enceintes. Au niveau du mur des enceintes (donc en $x=0$) sa pression s'écrit (en utilisant encore la première équation) : $$P(0) = B_1 \cdot e^{+ j k (x=0)} =B_1 $$ Cette onde va se réfléchir pour créer une nouvelle onde incidente $A_2$ en $x=0$ avec cette fois le coefficient de réflexion en pression du mur des HP $R_h$ : $$A_2 =A_1 R_m R_h \cdot e^{-2jkL}$$ Cette onde va se propager jusqu'au mur du fond et se réfléchir à nouveau créant une deuxième onde réfléchie $B_2$ qui va s'écrire de la même manière que la première onde réfléchie mais portant sur $A_2$ : $$B_2 =A_2 R_m \cdot e^{-2jkL} =A_1 R_h {R_m}^2 \cdot e^{-4jkL}$$ De ces expression, on déduit par récurrence la forme des ondes incidentes $A_i$ et réfléchies $B_i$. Ces ondes s'expriment uniquement en fonction de l'onde émise par le HP $A_1$ et des coefficients de réflexions du mur $R_m$ et de celui des HP $R_h$.
Les coefficients calculés $A$ et $B$ sont respectivement la somme de toutes les ondes incidentes et réfléchies. Je passe le détail des calculs, on trouve finalement :$$A = \sum_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (R_m R_h)^n e^{-j 2 n k L} $$ et $$B = \sum_{i=1}^{\infty} B_i = A_1 \cdot R_m e^{-j 2 k L} \sum_{n=0}^{\infty} (R_m R_h)^n e^{-j 2 n k L} $$ De l'expression de $A$, on déduit que ce terme sera maximal quand toutes les ondes s'additionnent en phase ce qui conduit à $e^{-j 2 n k L}=1$.
Cela se traduit en fréquence par : $f = n\frac{C}{2L}$ soit les fréquences des modes. Le terme $A$ (et $B$) incluent donc bien la réponse des modes.
On remarque d'autre part que la somme se simplifie dans le rapport des coefficients $B$ et $A$ qui donne $$\frac{B}{A} = R_m \cdot e^{-2j k L}$$ Ainsi ce rapport ne dépend plus que de $R_m$. Le terme $R_h$ disparait dans ce rapport qui conduit bien à mesurer le seul coefficient de réflexion du mur du fond.
On peut calculer la somme infini dans les expressions ci-dessus et l'on obtient finalement : $$A = \frac{A_1}{1 - R_m R_h e^{-j 2 k L}}$$ On en déduit que l'on peut calculer l'onde incidente $A_1$ émise par le HP à partir de $A$ selon la formule : $$A_1 = A (1 - R_m R_h e^{-j 2 k L})$$ Pour cela, il faut connaître les coefficients de réflexion des deux murs : le mur du fond et le mur des HP.
Comme le DBA consiste à placer des HP sur le mur du fond, on peut mesurer ces deux coefficients. Le coefficient de réflexion du mur du fond sera calculé en faisant jouer les HP du mur des enceintes et le coefficient du mur des enceintes, sera mesuré en faisant jouer les HP du DBA du mur du fond.
Ce serait intéressant de faire la manip pour voir ce que ça donne. Je propose qu'on continue à échanger par MP si tu veux faire cette manip.
