Merci JIM de ces remarques pertinentes.
Le calcul de $A$ et $B$ est fait avec Scilab à partir des mesures de REW.
Tu as raison de signaler que dans $A$ et $B$ on trouve la signature des modes.
Ces deux coefficients sont calculés avec une large fenêtre pour le transformée de Fourier. Ils incluent donc toutes les ondes dans le sens HP vers mur du fond pour $A$ et du mur du fond vers les HP pour $B$.
Il n'est pas possible d'isoler la première onde incidente $A_1$ en fenêtrant la réponse impulsionnelle car sa résolution en fréquence est insuffisante (principe d'incertitude lié à la transformée de Fourrier).
Le calcul du coefficient d'absorption en calculant $A$ et $B$ est la méthode classique utilisée dans un tube d'impédance. Cette méthode mesure le coefficient de réflexion de l'échantillon placé au fond du tube.
Si les coefficients $A$ et $B$ incluent toutes les réflexions, y compris celles du mur des enceintes, comment se fait-il que la méthode ne calcule que la réflexion du fond du tube (mur du fond dans mon cas) ?
D'autre part, pour calibrer ton DBA peut on extraire la première onde incidente $A_1$ à partir des valeurs de $A$ et $B$ ? La réponse est oui.
Essayons de modéliser l'ensemble des réflexions parcourant le tube.
Reprenons la formule de propagation d'onde plane dans un tube (avec $j^2=-1$) :
$$P(x) = A \cdot e^{-j k x} + B \cdot e^{+j k x}$$ Le premier terme (avec A en facteur) est l'onde incidente qui se propage des HP vers le mur du fond. Le second terme (avec B en facteur) est l'onde rétrograde qui se propage du mur du fond vers les enceintes.
Notons $L$ la distance entre ces deux murs. Notons $R_m$ le coefficient de réflexion en pression du mur du fond et $R_h$ le coefficient de réflexion en pression du mur des HP.
Les HP génèrent une onde $A_1$. L'équation ci-dessus nous dit que la pression sur le mur du fond (donc en $x=L$) de cette première onde incidente s'écrit : $$P(L) = A_1 \cdot e^{-j k L}$$ Cette onde incidente $A_1$ va se réfléchir et donc générer une première onde réfléchie au niveau du mur du fond (donc toujours en $x=L$) qui, selon la première équation (second terme), s'écrit $B_1 \cdot e^{+j k L}$. Le coefficient de réflexion en pression du mur $R_m$ est par définition le rapport de ces deux ondes : $$R_m = \frac{B_1 \cdot e^{+j k L}}{A_1 \cdot e^{-j k L}}$$ On déduit l'onde réfléchie $B_1$ en $x=L$ : $$B_1 = A_1 R_m \cdot e^{-2j k L}$$ Cette onde va se propager jusqu'au mur des enceintes. Au niveau du mur des enceintes (donc en $x=0$) sa pression s'écrit (en utilisant encore la première équation) : $$P(0) = B_1 \cdot e^{+ j k (x=0)} =B_1 $$ Cette onde va se réfléchir pour créer une nouvelle onde incidente $A_2$ en $x=0$ avec cette fois le coefficient de réflexion en pression du mur des HP $R_h$ : $$A_2 =A_1 R_m R_h \cdot e^{-2jkL}$$ Cette onde va se propager jusqu'au mur du fond et se réfléchir à nouveau créant une deuxième onde réfléchie $B_2$ qui va s'écrire de la même manière que la première onde réfléchie mais portant sur $A_2$ : $$B_2 =A_2 R_m \cdot e^{-2jkL} =A_1 R_h {R_m}^2 \cdot e^{-4jkL}$$ De ces expression, on déduit par récurrence la forme des ondes incidentes $A_i$ et réfléchies $B_i$. Ces ondes s'expriment uniquement en fonction de l'onde émise par le HP $A_1$ et des coefficients de réflexions du mur $R_m$ et de celui des HP $R_h$.
Les coefficients calculés $A$ et $B$ sont respectivement la somme de toutes les ondes incidentes et réfléchies. Je passe le détail des calculs, on trouve finalement :$$A = \sum_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (R_m R_h)^n e^{-j 2 n k L} $$ et $$B = \sum_{i=1}^{\infty} B_i = A_1 \cdot R_m e^{-j 2 k L} \sum_{n=0}^{\infty} (R_m R_h)^n e^{-j 2 n k L} $$ De l'expression de $A$, on déduit que ce terme sera maximal quand toutes les ondes s'additionnent en phase ce qui conduit à $e^{-j 2 n k L}=1$.
Cela se traduit en fréquence par : $f = n\frac{C}{2L}$ soit les fréquences des modes. Le terme $A$ (et $B$) incluent donc bien la réponse des modes.
On remarque d'autre part que la somme se simplifie dans le rapport des coefficients $B$ et $A$ qui donne $$\frac{B}{A} = R_m \cdot e^{-2j k L}$$ Ainsi ce rapport ne dépend plus que de $R_m$. Le terme $R_h$ disparait dans ce rapport qui conduit bien à mesurer le seul coefficient de réflexion du mur du fond.
On peut calculer la somme infini dans les expressions ci-dessus et l'on obtient finalement : $$A = \frac{A_1}{1 - R_m R_h e^{-j 2 k L}}$$ On en déduit que l'on peut calculer l'onde incidente $A_1$ émise par le HP à partir de $A$ selon la formule : $$A_1 = A (1 - R_m R_h e^{-j 2 k L})$$ Pour cela, il faut connaître les coefficients de réflexion des deux murs : le mur du fond et le mur des HP.
Comme le DBA consiste à placer des HP sur le mur du fond, on peut mesurer ces deux coefficients. Le coefficient de réflexion du mur du fond sera calculé en faisant jouer les HP du mur des enceintes et le coefficient du mur des enceintes, sera mesuré en faisant jouer les HP du DBA du mur du fond.
Ce serait intéressant de faire la manip pour voir ce que ça donne. Je propose qu'on continue à échanger par MP si tu veux faire cette manip.
Simulation absorption laine semi rigide
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Jean Fourcade
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- Enregistré le : 08 avr. 2024, 14:56
Re: Simulation absorption laine semi rigide
A, content de ne pas être passé complétement à côté de ton message, il faut s'accrocher quand même 
Très sympa, je vois le principe oui pour extraire le direct. Suite en MP.
Très sympa, je vois le principe oui pour extraire le direct. Suite en MP.
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Jean Fourcade
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- Enregistré le : 08 avr. 2024, 14:56
Re: Simulation absorption laine semi rigide
Bonjour à tous,
Après quelques heures de bricolage et beaucoup d'heures de calcul… voici la description et les mesures d'absorption du mur du fond de ma salle.
Je rappelle que l'objectif est d'obtenir la plus grande absorption possible sur tout le spectre de 20 Hz à 20000 Hz.
Cette description s'étendra sur quatre messages.
Modélisation de l'absorption des matériaux poreux :
Ce message reprend le contenu du premier de ce fil en amenant des précisions et en examinant le domaine de validité du modèle qui sera simulé dans le deuxième message.
La simulation de l'absorption des matériaux poreux repose sur des modèles empiriques établis à partir de mesures expérimentales réalisées sur un grand nombre de matériaux fibreux. La plupart de ces modèles calculent l'impédance caractéristique du matériau et son nombre d'onde à partir d'un seul paramètre permettant de le caractériser : la résistivité à l'écoulement de l'air, notée ($\sigma$).
Le modèle historique, développé en 1970 par Delany et Bazley, constitue la première référence dans ce domaine. Il présente toutefois un domaine de validité relativement restreint (généralement conseillé pour (0,01 < f/\sigma < 1,0)) et peut conduire à des comportements physiquement aberrants aux basses fréquences.
Le modèle Miki, développé en 1990, reprend le principe du modèle précédent en modifiant les coefficients et les exposants des lois de puissance. Il présente notamment l'avantage de conserver un comportement physiquement cohérent aux très basses fréquences. Il est depuis devenu une référence industrielle pour la modélisation des matériaux fibreux.
Le modèle Komatsu, développé en 2008, propose de nouvelles fonctions de régression empirique qui améliorent la précision des résultats par rapport aux mesures expérimentales. C'est celui qui nous paraît le plus adapté à nos simulations, notamment dans le domaine des basses fréquences.
Porosité et mécanismes de dissipation :
Les matériaux poreux se caractérisent notamment par leur porosité, qui représente le rapport entre le volume occupé par l'air et le volume total du matériau.
Pour les laines minérales couramment utilisées en acoustique, cette valeur est très élevée, généralement de l'ordre de 0,98. Cela signifie que 98 % du volume du matériau est constitué d'air, tandis que le squelette solide des fibres n'en représente que 2 %.
On comprend ainsi qu'une porosité élevée est une condition essentielle pour obtenir un bon absorbant acoustique. Si le matériau était trop dense et présentait une faible porosité, l'onde acoustique rencontrerait une forte opposition à sa pénétration et serait en grande partie réfléchie à sa surface.
Les modèles de Delany-Bazley, Miki et Komatsu présentent une caractéristique commune : ils considèrent le squelette solide du matériau comme immobile. On parle alors de modèles à cadre rigide. Seul l'air contenu dans les pores est supposé osciller sous l'effet de l'onde acoustique incidente.
Lorsque l'air circule dans le réseau complexe des pores, des phénomènes de cisaillement apparaissent au voisinage des fibres, sous l'effet de la viscosité de l'air. Ces frottements dissipent une partie de l'énergie mécanique de l'onde acoustique sous forme de chaleur.
Pour comprendre la dynamique du matériau, il faut toutefois mettre en regard les forces visqueuses et les forces d'inertie. Leur importance relative varie avec la fréquence, ce qui conduit à distinguer deux régimes.
Aux basses fréquences, les oscillations acoustiques sont relativement lentes. La viscosité de l'air favorise alors un couplage important entre le fluide et les parois des pores. Les forces exercées par le fluide sur les fibres peuvent entraîner le squelette dans son mouvement. Le fluide et le solide se déplacent ainsi, au moins en partie, de manière solidaire.
Aux hautes fréquences, les oscillations acoustiques se succèdent beaucoup plus rapidement. En raison de son inertie mécanique, le squelette solide ne peut plus suivre les inversions rapides des forces qui lui sont appliquées. Son mouvement devient négligeable, tandis que l'air contenu dans les pores continue d'osciller. On retrouve alors l'hypothèse du cadre rigide sur laquelle reposent les modèles précédemment évoqués.
Aux fréquences suffisamment élevées, ces modèles permettent donc de prédire correctement l'absorption du matériau.
À l'inverse, aux très basses fréquences, le mouvement du squelette devient indissociable de celui du fluide. Le mécanisme de dissipation par frottement visqueux local, tel qu'il est décrit dans le modèle à cadre rigide, ne peut alors plus être considéré isolément. Le matériau peut se comporter globalement comme une membrane ou une paroi souple.
Le comportement membranaire aux basses fréquences :
Dans cette configuration, la fréquence de résonance dépend principalement de la masse surfacique de la membrane et du volume d'air emprisonné entre celle-ci et le mur. La formule classique de résonance d'un absorbeur à membrane est : $$ f_r = \frac{c}{2\pi}\sqrt{\frac{\rho_0}{m \cdot d}} $$ soit, en prenant les valeurs usuelles de la vitesse du son et de la masse volumique de l'air : $$f_r = \frac{60}{\sqrt{m \cdot d}}$$ avec :
Le modèle poroélastique de Biot :
Pour prendre en compte cette transition de manière la plus rigoureuse, il faut recourir au modèle de Biot.
Contrairement aux modèles précédents, qui supposent le squelette immobile, le modèle de Biot est un modèle poroélastique. Il prend en compte simultanément l'élasticité et la masse du squelette solide, ainsi que les mouvements de l'air dans les pores. Il intègre les forces visqueuses et inertielles et permet ainsi de décrire le couplage mécanique entre le fluide et le solide.
Cette approche est cependant beaucoup plus complexe à mettre en œuvre. Elle conduit à distinguer trois types d'ondes dans le matériau :
Le modèle à cadre mou :
Il existe toutefois un modèle simplifié dit "à cadre mou" qui constitue une excellente transition mathématique et physique entre le modèle à cadre rigide et le modèle complet de Biot. Il a été formalisé et clarifié de manière décisive par Raymond Panneton dans son article de référence de 2007 : « Comments on the limp frame equivalent fluid model for porous media ».
Dans la réalité des matériaux souples (laines semi-rigides), le squelette solide ne vibre pas par élasticité propre comme une poutre (ce que modélise Biot avec ses modules de Young), mais il n'est pas non plus totalement immobile comme le suppose le modèle à cadre rigide.
Ce modèle repose sur une hypothèse physique intermédiaire radicale :
Sa conclusion majeure est la suivante : les pertes thermiques et la compression de l'air dans les pores restent régies par les mêmes lois que dans le modèle rigide. Seule la masse volumique effective ($\rho_{L}$) est modifiée .
Pour tenir compte du fait que le squelette "flasque" ajoute son inertie au système, Panneton a établi une formule explicite reliant la densité effective du fluide rigide ($\rho_{eff}$) à la masse du squelette.
En posant $\rho_t = \rho_1 + \phi \rho_0$ la masse volumique apparente du matériau (qui représente la masse apparente totale par unité de volume du milieu, combinant la masse du squelette $\rho_1$ et la masse de l'air contenu $\phi \rho_0$ avec $\phi$ est la porosité), Panneton exprime la densité effective du modèle limp ($\rho_{L} $) sous la forme (formule donné dans le premier message de ce fil) :
$$\rho_{L} = \frac{\rho_{eff} \cdot \rho_t - \rho_0^2}{\rho_{eff} + \rho_t - 2\rho_0}$$ où $\rho_{eff}$ est la densité effective du modèle à cadre rigide (calculée via le modèle Komatsu)
Examinons ce que devient cette formule lorsque la fréquence tend vers zéro ou vers l'infini.
Lorsque la fréquence $f$ tend vers 0, les forces visqueuses deviennent infiniment grandes. La densité effective du modèle rigide $\rho_{eff}$ tend vers l'infini.
Dès lors, la limite mathématique de la formule de Panneton lorsque $\rho_{eff} \to \infty$, les termes $\rho_{eff} $ dominent au numérateur et au dénominateur, et la formule se simplifie :$$\rho_{L} \to \rho_t $$ Tout le matériau bouge d'un seul bloc ; il se comporte comme une membrane.
Lorsque la fréquence $f$ tend vers l'infini, donc aux hautes fréquences, la densité effective du modèle rigide tends vers :
$$\rho_{eff, \infty} = \frac{\alpha_\infty \rho_0}{\phi}$$ avec $\alpha_\infty$ la tortuosité (qui mesure l'allongement et le tortueux des chemins suivis par l'air dans les pores). Pour une laine minérale fibreuse, elle est généralement comprise entre $1,0$ et $1,2$ (les fibres étant assez directes). D'autre part, on peut considérer que la porosité vaut environ $0,98$ pour les laines légères.
Si l'on fait le calcul, on obtient :$$\rho_{eff, \infty} \approx \frac{1,05 \times 1,2}{0,98} \approx \mathbf{1,3 \text{ kg/m}^3}$$ Ainsi à haute fréquence, le fluide équivalent pèse à peine $\approx 1,3 \text{ kg/m}^3$ ($\rho_{eff}$). De l'autre côté, la masse totale du squelette flasque ($\rho_t$) pèse typiquement entre $20 \text{ et } 50 \text{ kg/m}^3$.
Le squelette est donc plus de 15 à 30 fois plus lourd que le fluide équivalent aux hautes fréquences. C'est bien cette disproportion qui permet à la formule de Panneton de se simplifier naturellement pour redonner exactement le modèle à cadre rigide ($\rho_{L} \approx \rho_{eff} $).
Validité du modèle "limp" :
L'approche du modèle limp (cadre flasque) est élégante, mais elle repose sur une hypothèse forte : le squelette a une rigidité nulle.
Dans la réalité, aucun matériau n'a un squelette infiniment mou. Pour savoir précisément quand on a le droit d'utiliser le modèle limp à la place du modèle complet de Biot, Olivier Doutres et son équipe ont développé en 2007 un critère rigoureux basé sur la théorie de Biot : le critère FSI (Frame Stiffness Influence, ou influence de la rigidité du squelette). L'article de référence est "Validity of the limp model for porous materials: A criterion based on the Biot theory".
Le FSI est un paramètre analytique dépendant de la fréquence, déduit directement des équations de Biot. Il quantifie l'impact réel de l'élasticité (la raideur) du squelette par rapport aux forces d'inertie et aux interactions fluide-structure.
Le paramètre FSI initial présenté dans l'article précité varie avec la fréquence et présente une forme de cloche, atteignant son maximum autour de la fréquence de transition dite de Zwikker-Kosten ($f_{ZK}$) que nous ne détaillerons pas.
Pour faciliter l'ingénierie, Olivier Doutres et ses co-auteurs (2009) ont développé une version indépendante de la fréquence ($FSI_r$), basée sur l'enveloppe maximale de cette courbe sur toute la plage de fréquences. L'article est : "A Frequency Independent Criterion for Describing Sound Absorbing Materials by a Limp Frame Model".
Dans cet article, le paramètre s'exprime par : $$FSI_r = \frac{\vert{}\hat{P}\vert{}}{P_0} \frac{\phi}{1 + \phi^2}$$ Où $\hat{P}$ est le module de compressibilité complexe du squelette dans le vide, $P_0$ la pression atmosphérique, et $\phi$ la porosité.
Le module de compressibilité complexe s'écrit : $$\hat{P} = \frac{E (1 + j \eta)(1- \nu)}{(1-2 \nu)(1+\nu)}$$ avec $\eta$ l'amortissement (facteur de perte structurel résultant de la transformation de la déformation mécanique en chaleur) et $\nu$ le coefficient de Poisson.
Le modèle limp est validé si $FSI_r$ reste inférieur au seuil critique de $0,1$ (pour des épaisseurs courantes de 1 à 10 cm).
En considérant que le coefficient de Poisson ($\nu $) est nul (contrairement aux mousses polymères ou $\nu \approx 0.3$, les fibres enchevêtrées n'ont pas d'expansion latérale marquée), l'amortissement est négligé ($\eta \approx 0$) et la porosité élevée ($\phi \approx 0.98$), le critère devient : $$FSI_r \approx \frac{E}{2 P_0}$$ Avec $P_0 \approx 101,3 \text{ kPa}$, le seuil critique $FSI_r \le 0,1$ impose que le module de Young ne dépasse pas environ $20 \text{ kPa}$ pour qu'une laine puisse être rigoureusement modélisée par le modèle limp de Panneton.
Choix des laines :
Plusieurs matériaux ont été considérés pour réaliser le mur absorbant :
La densité peut facilement se mesurer en pesant un échantillon du matériau.
Les fabricants de matériaux communiquent généralement la résistivité au flux d'air ($\sigma$, souvent appelée AFR). Mais, il s'agit de la valeur sous forme de valeur minimale garantie. Il nous faut précisément la valeur du matériau employé pour simuler fidèlement son comportemant.
Enfin le module de Young, nécessaire à tester la validité du modèle "limp", n'est jamais fourni. Il nous faut donc le mesurer.
Je rappelle que le module de Young, qui définit la rigidité d'un matériau, est le rapport entre la contrainte et la déformation. Dans notre cas, nous cherchons le modèle de Young en compression du matériau. La contrainte est donc simplement la pression que nous allons exercer sur une surface donnée d'un échantillon.
La déformation est le rapport de la variation d'épaisseur sur l'épaisseur initiale du matériau.
Notons enfin que ce qui nous intéresse vraiment est le module de Young dynamique. Cette mesure dynamique est complexe à mettre en œuvre et hors de portée de l'amateur. On peut toutefois considérer que le module dynamique est environ 30 % plus élevé que le module statique.
Mesure du module de Young statique :
La photo ci-dessous montre le banc de mesure. Un échantillon de 40x40 cm d'épaisseur est posé à plat sur une table. Un CTP de 6mm d'épaisseur est placé sur le matériau et reçoit les poids de mise en contrainte du matériau :
Deux comparateurs mesurent l'enfoncement du matériau à deux extrémités opposées.
La pente de la courbe de la déformation en fonction de la pression exercée par les différents poids fournit le module de Young.
Voici l'exemple du calcul de la laine Pavacell. On constate que la courbe est parfaitement linéaire, ce qui valide le procédé de mesure :
Voici les caractéristiques des matériaux choisis. La méthode d'identification du coefficient de résistivité au passage de l'air sera détaillée dans un prochain message :
La suite au prochain épisode…
Cordialement
Jean
Après quelques heures de bricolage et beaucoup d'heures de calcul… voici la description et les mesures d'absorption du mur du fond de ma salle.
Je rappelle que l'objectif est d'obtenir la plus grande absorption possible sur tout le spectre de 20 Hz à 20000 Hz.
Cette description s'étendra sur quatre messages.
- Le premier message reprend les théories permettant de calculer le coefficient d'absorption d'un matériau poreux. .
- Le deuxième message présente un simulateur de calcul réalisé à partir des théories exposées dans le premier message. Ces simulations vont permettre de comprendre les choix des laines, leur configuration et leur épaisseur afin d'obtenir un panneau de forte absorption sur une large plage de fréquence.
- Le troisième message porte sur la mesure dans un tube d'impédance classique de section carrée de 16 cm de côté des solutions envisagées dans le deuxième message.
- Le quatrième et dernier message décrit la réalisation du mur absorbant et la mesure in situ dans la pièce.
Modélisation de l'absorption des matériaux poreux :
Ce message reprend le contenu du premier de ce fil en amenant des précisions et en examinant le domaine de validité du modèle qui sera simulé dans le deuxième message.
La simulation de l'absorption des matériaux poreux repose sur des modèles empiriques établis à partir de mesures expérimentales réalisées sur un grand nombre de matériaux fibreux. La plupart de ces modèles calculent l'impédance caractéristique du matériau et son nombre d'onde à partir d'un seul paramètre permettant de le caractériser : la résistivité à l'écoulement de l'air, notée ($\sigma$).
Le modèle historique, développé en 1970 par Delany et Bazley, constitue la première référence dans ce domaine. Il présente toutefois un domaine de validité relativement restreint (généralement conseillé pour (0,01 < f/\sigma < 1,0)) et peut conduire à des comportements physiquement aberrants aux basses fréquences.
Le modèle Miki, développé en 1990, reprend le principe du modèle précédent en modifiant les coefficients et les exposants des lois de puissance. Il présente notamment l'avantage de conserver un comportement physiquement cohérent aux très basses fréquences. Il est depuis devenu une référence industrielle pour la modélisation des matériaux fibreux.
Le modèle Komatsu, développé en 2008, propose de nouvelles fonctions de régression empirique qui améliorent la précision des résultats par rapport aux mesures expérimentales. C'est celui qui nous paraît le plus adapté à nos simulations, notamment dans le domaine des basses fréquences.
Porosité et mécanismes de dissipation :
Les matériaux poreux se caractérisent notamment par leur porosité, qui représente le rapport entre le volume occupé par l'air et le volume total du matériau.
Pour les laines minérales couramment utilisées en acoustique, cette valeur est très élevée, généralement de l'ordre de 0,98. Cela signifie que 98 % du volume du matériau est constitué d'air, tandis que le squelette solide des fibres n'en représente que 2 %.
On comprend ainsi qu'une porosité élevée est une condition essentielle pour obtenir un bon absorbant acoustique. Si le matériau était trop dense et présentait une faible porosité, l'onde acoustique rencontrerait une forte opposition à sa pénétration et serait en grande partie réfléchie à sa surface.
Les modèles de Delany-Bazley, Miki et Komatsu présentent une caractéristique commune : ils considèrent le squelette solide du matériau comme immobile. On parle alors de modèles à cadre rigide. Seul l'air contenu dans les pores est supposé osciller sous l'effet de l'onde acoustique incidente.
Lorsque l'air circule dans le réseau complexe des pores, des phénomènes de cisaillement apparaissent au voisinage des fibres, sous l'effet de la viscosité de l'air. Ces frottements dissipent une partie de l'énergie mécanique de l'onde acoustique sous forme de chaleur.
Pour comprendre la dynamique du matériau, il faut toutefois mettre en regard les forces visqueuses et les forces d'inertie. Leur importance relative varie avec la fréquence, ce qui conduit à distinguer deux régimes.
Aux basses fréquences, les oscillations acoustiques sont relativement lentes. La viscosité de l'air favorise alors un couplage important entre le fluide et les parois des pores. Les forces exercées par le fluide sur les fibres peuvent entraîner le squelette dans son mouvement. Le fluide et le solide se déplacent ainsi, au moins en partie, de manière solidaire.
Aux hautes fréquences, les oscillations acoustiques se succèdent beaucoup plus rapidement. En raison de son inertie mécanique, le squelette solide ne peut plus suivre les inversions rapides des forces qui lui sont appliquées. Son mouvement devient négligeable, tandis que l'air contenu dans les pores continue d'osciller. On retrouve alors l'hypothèse du cadre rigide sur laquelle reposent les modèles précédemment évoqués.
Aux fréquences suffisamment élevées, ces modèles permettent donc de prédire correctement l'absorption du matériau.
À l'inverse, aux très basses fréquences, le mouvement du squelette devient indissociable de celui du fluide. Le mécanisme de dissipation par frottement visqueux local, tel qu'il est décrit dans le modèle à cadre rigide, ne peut alors plus être considéré isolément. Le matériau peut se comporter globalement comme une membrane ou une paroi souple.
Le comportement membranaire aux basses fréquences :
Dans cette configuration, la fréquence de résonance dépend principalement de la masse surfacique de la membrane et du volume d'air emprisonné entre celle-ci et le mur. La formule classique de résonance d'un absorbeur à membrane est : $$ f_r = \frac{c}{2\pi}\sqrt{\frac{\rho_0}{m \cdot d}} $$ soit, en prenant les valeurs usuelles de la vitesse du son et de la masse volumique de l'air : $$f_r = \frac{60}{\sqrt{m \cdot d}}$$ avec :
- (m) : masse surfacique de la membrane, en kg/m² ;
- (d) : distance entre le mur et la membrane, en mètres.
Le modèle poroélastique de Biot :
Pour prendre en compte cette transition de manière la plus rigoureuse, il faut recourir au modèle de Biot.
Contrairement aux modèles précédents, qui supposent le squelette immobile, le modèle de Biot est un modèle poroélastique. Il prend en compte simultanément l'élasticité et la masse du squelette solide, ainsi que les mouvements de l'air dans les pores. Il intègre les forces visqueuses et inertielles et permet ainsi de décrire le couplage mécanique entre le fluide et le solide.
Cette approche est cependant beaucoup plus complexe à mettre en œuvre. Elle conduit à distinguer trois types d'ondes dans le matériau :
- Une onde de compression rapide (fast wave), qui se propage principalement dans le squelette solide.
- Une onde de compression lente (slow wave), qui se propage principalement dans le fluide et subit généralement une forte atténuation.
- Une onde de cisaillement, transversale, caractéristique du comportement élastique du squelette solide.
Le modèle à cadre mou :
Il existe toutefois un modèle simplifié dit "à cadre mou" qui constitue une excellente transition mathématique et physique entre le modèle à cadre rigide et le modèle complet de Biot. Il a été formalisé et clarifié de manière décisive par Raymond Panneton dans son article de référence de 2007 : « Comments on the limp frame equivalent fluid model for porous media ».
Dans la réalité des matériaux souples (laines semi-rigides), le squelette solide ne vibre pas par élasticité propre comme une poutre (ce que modélise Biot avec ses modules de Young), mais il n'est pas non plus totalement immobile comme le suppose le modèle à cadre rigide.
Ce modèle repose sur une hypothèse physique intermédiaire radicale :
- La rigidité est nulle : il est totalement "mou" ou "flasque" (limp en anglais). Il ne peut donc pas propager d'ondes élastiques de cisaillement ou de compression propre.
- Son inertie est conservée, ce qui signifie que la masse du squelette est prise en compte. Le cadre solide possède donc une masse volumique et peut se déplacer ou osciller sous l'effet des forces acoustiques et des interactions avec l'air.
Sa conclusion majeure est la suivante : les pertes thermiques et la compression de l'air dans les pores restent régies par les mêmes lois que dans le modèle rigide. Seule la masse volumique effective ($\rho_{L}$) est modifiée .
Pour tenir compte du fait que le squelette "flasque" ajoute son inertie au système, Panneton a établi une formule explicite reliant la densité effective du fluide rigide ($\rho_{eff}$) à la masse du squelette.
En posant $\rho_t = \rho_1 + \phi \rho_0$ la masse volumique apparente du matériau (qui représente la masse apparente totale par unité de volume du milieu, combinant la masse du squelette $\rho_1$ et la masse de l'air contenu $\phi \rho_0$ avec $\phi$ est la porosité), Panneton exprime la densité effective du modèle limp ($\rho_{L} $) sous la forme (formule donné dans le premier message de ce fil) :
$$\rho_{L} = \frac{\rho_{eff} \cdot \rho_t - \rho_0^2}{\rho_{eff} + \rho_t - 2\rho_0}$$ où $\rho_{eff}$ est la densité effective du modèle à cadre rigide (calculée via le modèle Komatsu)
Examinons ce que devient cette formule lorsque la fréquence tend vers zéro ou vers l'infini.
Lorsque la fréquence $f$ tend vers 0, les forces visqueuses deviennent infiniment grandes. La densité effective du modèle rigide $\rho_{eff}$ tend vers l'infini.
Dès lors, la limite mathématique de la formule de Panneton lorsque $\rho_{eff} \to \infty$, les termes $\rho_{eff} $ dominent au numérateur et au dénominateur, et la formule se simplifie :$$\rho_{L} \to \rho_t $$ Tout le matériau bouge d'un seul bloc ; il se comporte comme une membrane.
Lorsque la fréquence $f$ tend vers l'infini, donc aux hautes fréquences, la densité effective du modèle rigide tends vers :
$$\rho_{eff, \infty} = \frac{\alpha_\infty \rho_0}{\phi}$$ avec $\alpha_\infty$ la tortuosité (qui mesure l'allongement et le tortueux des chemins suivis par l'air dans les pores). Pour une laine minérale fibreuse, elle est généralement comprise entre $1,0$ et $1,2$ (les fibres étant assez directes). D'autre part, on peut considérer que la porosité vaut environ $0,98$ pour les laines légères.
Si l'on fait le calcul, on obtient :$$\rho_{eff, \infty} \approx \frac{1,05 \times 1,2}{0,98} \approx \mathbf{1,3 \text{ kg/m}^3}$$ Ainsi à haute fréquence, le fluide équivalent pèse à peine $\approx 1,3 \text{ kg/m}^3$ ($\rho_{eff}$). De l'autre côté, la masse totale du squelette flasque ($\rho_t$) pèse typiquement entre $20 \text{ et } 50 \text{ kg/m}^3$.
Le squelette est donc plus de 15 à 30 fois plus lourd que le fluide équivalent aux hautes fréquences. C'est bien cette disproportion qui permet à la formule de Panneton de se simplifier naturellement pour redonner exactement le modèle à cadre rigide ($\rho_{L} \approx \rho_{eff} $).
Validité du modèle "limp" :
L'approche du modèle limp (cadre flasque) est élégante, mais elle repose sur une hypothèse forte : le squelette a une rigidité nulle.
Dans la réalité, aucun matériau n'a un squelette infiniment mou. Pour savoir précisément quand on a le droit d'utiliser le modèle limp à la place du modèle complet de Biot, Olivier Doutres et son équipe ont développé en 2007 un critère rigoureux basé sur la théorie de Biot : le critère FSI (Frame Stiffness Influence, ou influence de la rigidité du squelette). L'article de référence est "Validity of the limp model for porous materials: A criterion based on the Biot theory".
Le FSI est un paramètre analytique dépendant de la fréquence, déduit directement des équations de Biot. Il quantifie l'impact réel de l'élasticité (la raideur) du squelette par rapport aux forces d'inertie et aux interactions fluide-structure.
Le paramètre FSI initial présenté dans l'article précité varie avec la fréquence et présente une forme de cloche, atteignant son maximum autour de la fréquence de transition dite de Zwikker-Kosten ($f_{ZK}$) que nous ne détaillerons pas.
Pour faciliter l'ingénierie, Olivier Doutres et ses co-auteurs (2009) ont développé une version indépendante de la fréquence ($FSI_r$), basée sur l'enveloppe maximale de cette courbe sur toute la plage de fréquences. L'article est : "A Frequency Independent Criterion for Describing Sound Absorbing Materials by a Limp Frame Model".
Dans cet article, le paramètre s'exprime par : $$FSI_r = \frac{\vert{}\hat{P}\vert{}}{P_0} \frac{\phi}{1 + \phi^2}$$ Où $\hat{P}$ est le module de compressibilité complexe du squelette dans le vide, $P_0$ la pression atmosphérique, et $\phi$ la porosité.
Le module de compressibilité complexe s'écrit : $$\hat{P} = \frac{E (1 + j \eta)(1- \nu)}{(1-2 \nu)(1+\nu)}$$ avec $\eta$ l'amortissement (facteur de perte structurel résultant de la transformation de la déformation mécanique en chaleur) et $\nu$ le coefficient de Poisson.
Le modèle limp est validé si $FSI_r$ reste inférieur au seuil critique de $0,1$ (pour des épaisseurs courantes de 1 à 10 cm).
En considérant que le coefficient de Poisson ($\nu $) est nul (contrairement aux mousses polymères ou $\nu \approx 0.3$, les fibres enchevêtrées n'ont pas d'expansion latérale marquée), l'amortissement est négligé ($\eta \approx 0$) et la porosité élevée ($\phi \approx 0.98$), le critère devient : $$FSI_r \approx \frac{E}{2 P_0}$$ Avec $P_0 \approx 101,3 \text{ kPa}$, le seuil critique $FSI_r \le 0,1$ impose que le module de Young ne dépasse pas environ $20 \text{ kPa}$ pour qu'une laine puisse être rigoureusement modélisée par le modèle limp de Panneton.
Choix des laines :
Plusieurs matériaux ont été considérés pour réaliser le mur absorbant :
- La laine de verre IBR de chez Isover
- La laine de coton Metisse
- La fibre de bois Pavaflex confort de chez Soprema
- La laine de roche, double densité Rockfeu rei de chez Rockwool.
- La laine de fibre de cellulose Pavacell P de chez Soprema.
La densité peut facilement se mesurer en pesant un échantillon du matériau.
Les fabricants de matériaux communiquent généralement la résistivité au flux d'air ($\sigma$, souvent appelée AFR). Mais, il s'agit de la valeur sous forme de valeur minimale garantie. Il nous faut précisément la valeur du matériau employé pour simuler fidèlement son comportemant.
Enfin le module de Young, nécessaire à tester la validité du modèle "limp", n'est jamais fourni. Il nous faut donc le mesurer.
Je rappelle que le module de Young, qui définit la rigidité d'un matériau, est le rapport entre la contrainte et la déformation. Dans notre cas, nous cherchons le modèle de Young en compression du matériau. La contrainte est donc simplement la pression que nous allons exercer sur une surface donnée d'un échantillon.
La déformation est le rapport de la variation d'épaisseur sur l'épaisseur initiale du matériau.
Notons enfin que ce qui nous intéresse vraiment est le module de Young dynamique. Cette mesure dynamique est complexe à mettre en œuvre et hors de portée de l'amateur. On peut toutefois considérer que le module dynamique est environ 30 % plus élevé que le module statique.
Mesure du module de Young statique :
La photo ci-dessous montre le banc de mesure. Un échantillon de 40x40 cm d'épaisseur est posé à plat sur une table. Un CTP de 6mm d'épaisseur est placé sur le matériau et reçoit les poids de mise en contrainte du matériau :
Deux comparateurs mesurent l'enfoncement du matériau à deux extrémités opposées.
La pente de la courbe de la déformation en fonction de la pression exercée par les différents poids fournit le module de Young.
Voici l'exemple du calcul de la laine Pavacell. On constate que la courbe est parfaitement linéaire, ce qui valide le procédé de mesure :
Voici les caractéristiques des matériaux choisis. La méthode d'identification du coefficient de résistivité au passage de l'air sera détaillée dans un prochain message :
La suite au prochain épisode…
Cordialement
Jean
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