Pour absorber les ondes acoustiques, on distingue principalement deux grandes familles de matériaux : les matériaux poreux et les membranes. Leur fonctionnement repose sur des principes physiques différents.
Les matériaux poreux :
Les matériaux poreux (laine de roche, laine de verre, mousses acoustiques) sont constitués d’un réseau de microcanaux remplis d’air.
Lorsque l’onde sonore pénètre dans ce type de matériau, l’air contenu dans les pores se met à osciller. Les frottements visqueux entre l’air et les parois internes dissipent alors l’énergie acoustique, qui est convertie en chaleur. La pression de l'onde sonore s'atténue dans le matériau.
L’efficacité d’un matériau poreux dépend principalement de la vitesse de l’air dans les pores :
- Il est efficace là où la vitesse de l’air est élevée
- Il est peu efficace là où cette vitesse est faible
Cette contrainte explique la limite intrinsèque des matériaux poreux pour absorber les très basses fréquences.
Ces fréquences ayant de grandes longueurs d’onde, la distance λ/4 devient rapidement importante.
Par exemple, à 30 Hz, la longueur d’onde est d’environ 11,5 m, ce qui donne : λ/4≈2,8 m
Absorber efficacement une telle fréquence nécessiterait donc une épaisseur de matériau irréaliste.
Les membranes :
Le principe d’une membrane (panneau mince, plaque de bois, membrane souple) est fondamentalement différent.
Considérons une membrane placée contre un mur devant une cavité d’air. L’onde sonore exerce une pression sur la membrane. La membrane se met à vibrer. L’air emprisonné entre la membrane et le mur agit comme un ressort.
On obtient ainsi un système masse-ressort. À la fréquence de résonance, l’amplitude du mouvement est maximale et l’énergie est dissipée par les pertes internes du matériau et les frottements mécaniques.
Contrairement aux matériaux poreux, ce mécanisme dépend principalement de la pression acoustique, et non de la vitesse de l’air.
Il est alors possible, avec des épaisseurs raisonnables, de concevoir des membranes accordées sur des fréquences très basses.
On comprend ainsi que :
- Les matériaux poreux sont particulièrement adaptés à l’absorption du bas médium à l’aigu.
- Les membranes sont plus efficaces pour traiter les basses fréquences.
On pourrait être tenté de combiner ces deux principes en plaçant un matériau poreux devant une membrane afin d’additionner leurs effets. Cependant, les mécanismes physiques en jeu rendent cette configuration inefficace.
Le graphe ci-dessous, généré avec le site "acoustic modeling", illustre ce type de montage : une membrane de masse surfacique 8,5 kg/m² est positionnée à 900 mm du mur, l’espace intermédiaire étant partiellement rempli par 600 mm d’absorbant poreux.
La courbe bleue représente l’absorption due à la membrane seule.
La fréquence de résonance est très basse (environ 20 Hz).
Les courbes verte, jaune et rouge correspondent à l’ajout, devant la membrane, d’un absorbant poreux d'épaisseurs respectives 200 mm, 300 mm et 400 mm.
On observe que plus l’épaisseur du matériau poreux placé devant la membrane augmente, plus la résonance de celle-ci est atténuée. On en comprend la raison. Plus la couche poreuse est épaisse, plus elle réduit la pression atteignant la membrane aux fréquences où celle-ci est efficace.
Une solution pour combiner les deux mécanismes d’absorption (membrane et matériau poreux) consiste à utiliser une laine poreuse semi-rigide. Ce type de matériau peut, dans certaines conditions, se comporter simultanément comme un matériau poreux classique et comme une membrane, mobilisant ainsi les deux modèles physiques.
La question est alors la suivante : comment modéliser un tel matériau afin de calculer ses coefficients d’absorption ?
Pour y répondre, nous devons rappeler brièvement les modèles utilisés pour décrire l’absorption des matériaux poreux.
Les modèles d'absorption d'un matériau poreux :
Le modèle le plus couramment employé est celui proposé par Miki (1990). Il présente l’avantage de ne reposer que sur un seul paramètre mesurable : la résistivité au passage de l’air, notée σ (en Pa⋅s/m2).
L’idée fondamentale des modèles qui calculent l'absorption des matériaux poreux est la suivante : si l’on connaît la résistance qu’un matériau oppose à l’écoulement de l’air, on peut en déduire ses deux grandeurs acoustiques essentielles :
- L’impédance caractéristique Zc qui représente le rapport entre la pression acoustique et la vitesse particulaire à l’intérieur du matériau.
- Le nombre d’onde complexe k qui décrit la manière dont l’onde se propage et s’atténue dans le milieu.
En combinant les matrices de transfert de plusieurs couches successives et en appliquant les conditions aux limites (vitesse particulaire nulle sur le mur auquel sont adossées ces couches), on peut alors déterminer l’impédance globale du système et en déduire son coefficient d’absorption acoustique.
Le modèle de Miki considère le matériau poreux comme un fluide équivalent où seul l'air bouge dans une structure rigide immobile. Il ne prend donc pas en compte la vibration de l'ensemble du matériau et de son effet membrane.
Afin de modéliser le fait que le squelette solide du matériau poreux puisse aussi vibrer et interagir avec l'air, il faut considérer le modèle de Biot (établi par Maurice Anthony Biot).
Le modèle de Biot traite les deux phases couplées : la phase fluide (l'air dans les pores) et La phase solide (la structure du matériau).
Alors que Miki n'utilise qu'un seul paramètre (le coefficient de résistivité au passage de l'air), le modèle de Biot complet en nécessite généralement huit pour décrire l'interaction mécanique et thermique :
Propriétés du fluide (Air) :
- $\sigma$ : Résistivité au passage de l'air (le lien direct avec Miki).
- $\phi$ : Porosité (volume de vide / volume total).
- $\alpha_\infty$ : Tortuosité (complexité des chemins du fluide).
- $\Lambda$ et $\Lambda'$ : Longueurs caractéristiques visqueuse et thermique (décrivent la géométrie fine des pores).
- $\rho_s$ : Masse volumique du matériau solide.
- $E$ : Module de Young (élasticité).
- $\nu$ : Coefficient de Poisson.
- $\eta$ : Facteur de perte structurel (amortissement interne du solide).
Modèle du fluide équivalent à squelette souple :
Cependant une approche simplifiée est possible. L'idée est de considérer que le squelette du matériau n'a pas de rigidité propre (il ne transmet pas d'ondes de compression solides), mais qu'il est entraîné par l'air à cause des forces de viscosité. Dans le modèle de Miki classique, on suppose que le squelette est immobile. Dans le modèle ci-dessus, on suppose que le squelette est si souple ou si peu lié qu'il bouge avec l'air.
On trouvera à ce lien un article qui traite de ce type de modèle qui porte le nom en anglais de "limp frame equivalent fluid model" que l'on peut traduire par "modèle du fluide équivalent à squelette souple" :Comments on the limp frame equivalent fluid model for porous media
Sans entrer dans le détail des équations, donnons quelques indications pour comprendre les graphiques qui vont suivre.
Le calcul de Zc et k du modèle Miki permet de calculer ce que l'on appelle la masse volumique effective par l'équation :
$$\rho_{eff} = \frac{Z_c \cdot k}{\omega}$$
Dans un matériau poreux , l'air ne se déplace pas aussi librement que dans l'air libre. La notion de masse volumique effective est une manière mathématique de signifier que : "Tout se passe comme si l'air à l'intérieur du matériau était plus lourd que l'air extérieur."
Elle est "effective" et non réelle à cause de :
- Inertie et Tortuosité : L'air dans les pores doit contourner les fibres ou les parois du matériau. Ce chemin n'est pas droit (c'est la tortuosité). Pour accélérer cet air, il faut fournir plus de force que dans l'air libre. Le fluide se comporte donc comme s'il avait une masse volumique plus grande.
- Viscosité (Frottements) : Près des parois des pores, l'air "accroche" à cause de sa viscosité. Cela crée une force de résistance qui s'oppose au mouvement. Dans le modèle mathématique, cette force de frottement est intégrée dans la partie imaginaire de la masse volumique effective
La formule de la masse volumique extraite de l'article donné en référence est la suivante :
$$\rho_{L} = \frac{\rho_{eff} \cdot \rho_t - \rho_0^2}{\rho_{eff} + \rho_t - 2\rho_0}$$
$ \rho_0 $ est la masse volumique de l'air et $\rho_t $ est la masse volumique du squelette incluant l'air enfermée dans celui-ci.
Il convient de s'étendre un peu sur cette équation afin d'en comprendre le mécanisme.
À basse fréquence ($f \to 0$), la masse volumique effective du fluide seul ($\rho_{eff}$) dans le modèle de Miki devient très grande. En effet, la résistance au passage de l'air $\sigma$ domine l'inertie. Mathématiquement, $\rho_{eff}$ tend vers l'infini (ou du moins devient très supérieure à $\rho_t$ et $\rho_0$).
Si l'on fait tendre $\rho_{eff} \to \infty$ dans l'équation :
- Le numérateur est dominé par le terme $\rho_{eff} \cdot \rho_t$.
- Le dénominateur est dominé par $\rho_{eff}$.
- Le rapport $\frac{\rho_{eff} \cdot \rho_t}{\rho_{eff}}$ se simplifie en $\rho_t$.
À l'inverse, quand la fréquence augmente ($f \to \infty$) :
- L'inertie de la structure solide ($\rho_t$) devient trop grande.
- Le squelette ne parvient plus à suivre les oscillations rapides de l'air.
- Le squelette "s'immobilise" virtuellement par rapport à l'onde.
En résumé :
- Basse fréquence : Couplage total. Le milieu pèse $\rho_t$. (Comportement de corps rigide massique).
- Haute fréquence : Découplage. L'air circule "autour" des fibres fixes. (Comportement de poreux classique).
Une approximation courante pour un matériau poreux classique est :
$$f_d \approx \frac{\sigma \cdot \phi}{2\pi \cdot \rho_t}$$
Où :
- $\sigma$ : résistivité au passage de l'air ($Pa \cdot s/m^2$).
- $\phi$ : porosité (proche de 1 pour les matériaux poreux classiques).
- $\rho_t$ : masse volumique du squelette ($kg/m^3$).
Simulations du modèle fluide équivalent à squelette souple :
Le script Scilab suivant Limp Frame modelimplémente ce modèle et permet de calculer l'absorption d'une laine semi rigide en cumulant l'effet membrane et poreux.
L'absorbeur est constitué de la manière suivante en partant du mur rigide :
- une laine minérale d'épaisseur $e_p$ et de coefficient de résistivité $\sigma_p$,
- un plenum d'air d'épaisseur $e_{air}$,
- une laine semi rigide d'épaisseur $e_t$, de porosité $\phi_t $, de coefficient de résistivité $\sigma_t$, de masse volumique $\rho_t $
J'ai considéré deux type de laine de densité différentes. Une première laine de masse volumique 85 kg/m3. Le graphique ci-dessous montre le coefficient d'absorption avec deux valeurs différentes de coefficient de résistivité au passage de l'air : 40000 Pa.s/m2 et 12000 Pa.s/m2 (cette dernière valeur n'étant probablement pas réaliste pour une telle densité).
On constate dans les deux cas la résonnance de la laine autour de 20 hz et la nette différence de la courbe d'absorption en fonction du coefficient de résistivité. Cette différence provient de l'écart concernant la fréquence de transition $f_d$. Dans le cas de la laine AFR40, $f_d$ vaut 73 hz et vaut 22 hz dans le cas AFR12.
La laine AFR40 avec une valeur de $f_d$ bien supérieure à la fréquence de résonnance, crée un trou dans la courbe d'absorption. Il est donc judicieux de cherche une laine dont le coefficient de résistivité conduit à une fréquence de transition proche de la fréquence de résonnance.
Le graphique suivant concerne une laine de densité 40 kg/m3 avec des coefficients de résistivité AFR10 et AFR8.
La fréquence de résonnance augmente du fait d'une laine plus légère et passe vers 40 hz. Les fréquences de transissions sont 39 hz pour la laine AFR10 et 31 hz pour AFR8.
Le trou vers 300 hz vient du fait que le plénum n'est pas assez rempli de laine de verre. En plaçant 800 mm de laine au lieu de 600 mm, on obtient la courbe suivante :
Comme on peut le constater la valeur du coefficient de résistivité au passage de l'air joue un rôle important et doit s'harmoniser avec la valeur de la densité de la laine.
Cette valeur n'étant pas couramment donnée par les fournisseur de laine, un des premier objectif est de concevoir un montage permettant de le mesurer.
Il faudra ensuite mesurer les coefficients d'absorption pour vérifier la validité du modèle.
Cordialement
Jean
